Két gimis lány oldott meg egy megoldhatatlannak hitt matematikai feladványt

2022 decemberében egy louisianai középiskola egy 500 dolláros pénzdíjjal járó matematikai feladvány megoldására hívta diákjait: a trigonometria segítségével új bizonyítást kellett készíteniük a Pitagorasz-tételre, arra a 2000 éves szabályra, amely megmagyarázza a derékszögű háromszög oldalainak hossza közötti kapcsolatot. Azt nem árulták el a tanulóknak, hogy a matematikusok már régóta „lehetetlennek” tartják ezt a feladatot.

Így amikor Ne’Kiya Jackson és Calcea Johnson előállt a megoldással, az sokkolta a matematika világát. Bizonyításukat néhány hónappal később, 2023-ban az Amerikai Matematikai Társaságban mutatták be, de az még további felülvizsgálatra szorult.

Október végén a most már főiskolán tanuló diákpáros egy új tanulmányban publikálta eredményeiket – a tétel további bizonyításaival együtt.

„Talán nincs is olyan matematikai tantárgy, amely nagyobb zavart és szorongást keltene a középiskolásokban, mint a trigonometria”- írja Jackson és Johnson a tanulmányban. „Sokszor volt, hogy mindketten fel akartuk adni ezt a projektet, de úgy döntöttünk, hogy kitartunk, hogy befejezzük, amit elkezdtünk.”

A The American Mathematical Monthly című folyóiratban október végén megjelent kutatás „öt-tíz” új módszert vázol fel a Pitagorasz-tétel trigonometria segítségével történő bizonyítására. Vagyis mindegyik bizonyítás azt támasztja alá, hogy egy derékszögű háromszög leghosszabb oldalának négyzete egyenlő a két rövidebb oldal négyzetének összegével.

Jackson és Johnson hónapokig dolgozott az eredeti bizonyításon, még a hétvégéiket és az ünnepeket is feláldozták céljuk érdekében. Az új tanulmányban az eredeti megoldáson túl még négy másik bizonyítást bemutatnak, amelyeket ezután dolgoztak ki. Egy új módszert is felvázolnak, amely további öt bizonyítást eredményezhet.

„Néhány embernek az a benyomása, hogy hosszú évekig kell az akadémiai életben lenni ahhoz, hogy valóban új matematikát tudjunk produkálni” – mondta Álvaro Lozano-Robledo, a Connecticuti Egyetem matematikusa a Science Newsnak. Jackson és Johnson munkája azonban azt mutatja, hogy „már középiskolásként is lehet nagyot alkotni” – tette hozzá.

Bár a Pitagorasz-tételt algebra és geometria segítségével bizonyították, Elisha Loomis matematikus és pedagógus 1927-ben megjelent The Pythagorean Proposition című könyvében azt állította, hogy a Pitagorasz-tétel trigonometrikus bizonyítása nem lehet helyes. Ennek oka, hogy a trigonometria alapjai ugyanezen a tételen alapulnak, így a szakértők szerint bármilyen bizonyításhoz olyan elveket kellene használni, amelyek már feltételezik a tétel igaz voltát, ami egy „körkörös érvelésnek” nevezett logikai tévedéshez vezetne.

Ehelyett a diákpáros egy trigonometrikus szabályt, a szinuszok törvényét használta, amely nem támaszkodik a Pitagorasz-tételre. Munkájuk bekerült a közé a maroknyi más trigonometrikus bizonyítás közé, amelyeknek az évek során mégis sikerült megoldaniuk ezt a megoldhatatlannak hitt feladványt a körkörös logikai érvelés kikerülésével: Jason Zimba 2009-ben és Nuno Luzia 2015-ben érte ezt el.

„Nem gondoltam volna, hogy ilyen messzire jutunk” – mondja Jackson egy nyilatkozatában. „Eléggé meglepett, hogy publikálták.”

Jackson és Johnson a New Orleans-i Szent Mária Akadémián dolgozták ki megoldásukat, amely az ország egyik legrégebbi katolikus iskolája fekete lányok számára. Miután bemutatták munkájukat, a páros nekilátott, hogy eredményeiket egy lektorált folyóiratban publikálják, amihez a korábbi bizonyításokat is alapul vették. Ez egy „kreatív folyamatot indított el” – mondta Jackson a Science Newsnak, hozzátéve, hogy innen dolgozták ki az újabb bizonyításokat.

Jackson most a louisianai Xavier Egyetemen szerez doktori fokozatot gyógyszerészetből, Johnson pedig a Louisianai Állami Egyetemen tanul környezetmérnöki tanulmányokat.

A duó eredménye megmutatta, hogy egy egyszerű bónuszkérdés egy középiskolában hogyan vezethet meglepő matematikai felfedezésekhez, még olyanokhoz is, amelyeket korábban „lehetetlennek” gondoltak.

(Kiemelt kép illusztráció: Kateryna Hliznitsova / Unsplash)